MATEMATICAS. 6 y 7 I.E.A.B.M.: Matemáticas. Grado 7. Tema: Conjunto de los números Racionales

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALFREDO BONILLA MONTAÑO

MATEMÁTICAS PRIMER PERIODO GRADO 7

Tema: Conjunto de los números Racionales

Licenciada DIXI SUAREZ B.

Situación problema:

De un rollo de cinta de 60 cm, se cortan 7 lazos iguales, ¿Cuál es la longitud aproximada de cada lazo?

La longitud de cada lazo la calculamos resolviendo 60/7 = 8,6 cm

Vemos que el resultado no fue un numero entero, es decir que la división fue inexacta. Por esta razón es necesario definir un nuevo conjunto numérico, en el que este tipo de divisiones tengan solución.

Los racionales son todo los números que se pueden escribir como fracción, pero el numerador y el denominador son número enteros.

Se debe tener en cuenta que el denominador no puede ser cero (0) por que la división por cero no está definida.

Los números Racionales se representan con la letra Q

Ejemplos:

a) -2/7

b) 4/9

c) 10/-4

d) -13/-5

e) 5/3

f) 8 = 8/1

g) -20 = -20/1

Ejercicio 1

Explica cuando un racional es positivo y cuando es negativo. Escribe 5 ejemplos de cada uno.

Fracciones Equivalentes:

Las fracciones equivalentes son aquellas que nos dan el mismo resultado.

Podemos comprobar que son equivalentes multiplicando en cruz. Si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes.

Ejemplos:

a- 3/5 y 15/25

3x25 = 5x15

75 = 75 ------------ son equivalentes

b- 1/4 y 2/7

1x7 = 4x2

7 = 8 -----------------no son equivalentes

c- 4/6 y 12/18

4x18 = 6x12

72 = 72 ---------------son equivalentes

d- 2/3 y 4/8

2x8 = 3x4

16 = 12 --------------------no son equivalentes

Fracción irreducible:

En matemáticas, una fracción irreducible es una fracción que no se puede simplificar, es decir, que el numerador y el denominador no comparten factores en común. Una fracción está escrita en su mínima expresión cuando no existe otra fracción equivalente que se pueda escribir en términos más sencillos.

Ejemplos:

1/4 ; 7/3 ; 4/5 ; 1/7 ; 8/5 ; 12/5 ; 17/6 ; 121/200 ; 78/17 ; 6/5 . Las fracciones irreducibles son aquellas fracciones que no se pueden simplificar,es decir que tanto el numerador como el denominador no tiene divisores comunes entre sí.

Ejercicio 2

Consulta en qué se aplican los números Racionales (Q).

Representación de números racionales en la recta numérica.

Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por $\input{Z.eepic}$ y se define de la manera siguiente:

$\begin{displaymath}\input{Z.eepic}= \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}\end{displaymath}$

Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:

El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama "segmento unidad".
De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por $\input{Q.eepic}$ y se define de la manera siguiente:

$\begin{displaymath}\input{Q.eepic}=\left\{ \frac{a}{b} \;\; / \;\; a \in \input{Z.eepic}, b \in \input{Z.eepic}, b \not= 0 \right\}\end{displaymath}$

Debido a que si $a \in \input{Z.eepic}$ , $b \in \input{Z.eepic}$ ,

entonces se cumple que $\displaystyle \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}$ ; se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.
Recordemos además que si $a \in \input{Z.eepic}$ , $b \in \input{Z.eepic}$ ,

, el número racional $\displaystyle \frac{a}{b}$ se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir

por

; en donde

indica el número de partes en que se divide la unidad y

el número de partes que se toman.
De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

$\displaystyle \frac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{7}{2}$

$\displaystyle \frac{-1}{2}$

$\displaystyle \frac{-5}{2}$

Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

$\displaystyle \frac{4}{3}$

$\displaystyle \frac{8}{3}$

$\displaystyle \frac{-2}{3}$

$\displaystyle \frac{-7}{3}$

Solución:

Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier número racional en la recta numérica.

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo:

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

$\displaystyle \frac{7}{9}$

$\displaystyle \frac{34}{15}$

$\displaystyle \frac{-9}{7}$

$\displaystyle \frac{-17}{5}$

Solución:

Utilizando la calculadora se puede notar que:

$\displaystyle \frac{7}{9}=0,\overline{7}$
$\displaystyle \frac{34}{15}=2,2\overline{6}$

$\displaystyle \frac{-9}{7}=-1,\overline{285714}$
$\displaystyle \frac{-17}{5}=-3,4$

De esta manera:

Desarrolla Competencias:

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.
1. $\displaystyle \frac{2}{3}$
  
  $\displaystyle \frac{8}{5}$
  
  $\displaystyle \frac{-5}{2}$
  
  $\displaystyle \frac{7}{4}$
2. $\displaystyle \frac{9}{2}$
  
  $\displaystyle \frac{-11}{3}$
  
  $\displaystyle \frac{13}{5}$
  
  $\displaystyle \frac{-7}{4}$
Utilice la calculadora para encontrar la expansión decimal de los siguientes números racionales y represéntelos en una recta numérica.